\newpage
\section{Apartat G: ona estacionària}
\vspace{12pt}

Finalment, en aquest apartat veurem com es pot generar una ona estacionària. Començarem en una situació de repòs, on tota la malla té el valor $u(x, t = 0) = u(x, t = -\Delta t) = 0$. L'extrem esquerre seguirà la següent funció sinusoïdal: $u(x = 0, t) = A \sin (\omega t)$ amb $A = 0.1$ i $\omega = 4\pi / L$.

Per poder simular correctament l'extrem esquerre, quan al càlcul numèric consultem el valor de $x = 0$ en comptes de agafar $u (L)$ agafem el valor corresponent a $A \sin (\omega t)$. Per a l'extrem dret, $x = L+1$, com el volem fixar sempre prenem valor  0.

A continuació, es mostra l'aspecte de l'ona passats diversos instants de temps:

\begin{figure}[h!]
\centering
\includegraphics[scale=0.25]{img/onaGtemps.png}
\caption{De dalt a baix i d'esquerra a dreta: $t = 0, 50, 100, 150, 200, 600$.}
\label{fig:onaGtemps}
\end{figure}


Les imatges de la figura \ref{fig:onaGtemps} mostren la seqüència per diversos instants de temps. Quan mirem la simulació, durant els primers $L$ instants de temps veiem com la pertorbació generada a l'extrem esquerre es va propagant cap a la dreta. Entre els instants $L$ i $2L$, la primera pertorbació es troba tornant cap a l'inici cap a l'esquerra, trobant-se alhora amb les noves pertorbacions que viatgen cap a la dreta. És en aquest moment que veiem com es comença a generar l'ona estacionària. Els punts que queden a la dreta del front d'ona que està tornant ja es mouen com una ona estacionària. Per tant, a l'instant $2L$, com la pertorbació inicial ha tornat a l'inici, tenim ja tota l'ona estacionària. A partir d'aquell moment, veurem com cada vegada l'amplitud de l'ona estacionària creix més, però no varia el seu aspecte.

La figura \ref{fig:onaG} mostra l'aspecte de l'ona estacionària, amb els 5 nodes i 4 ventres que es formen, al llarg d'uns quants passos de simulació. És lògic que es formin aquest nombre de nodes, ja que la freqüència angular de l'extrem esquerre és un múltiple de $\pi / L$. Si variem el valor de $\omega$ i posem $\omega = n \pi / L$ observem que es formen $n$ ventres i $n+1$ nodes.

\begin{figure}[h!]
\centering
\includegraphics[scale=0.25]{img/onaG.png}
\caption{Aspecte de l'ona estacionària en successius instants de temps.}
\label{fig:onaG}
\end{figure}